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第2节 牛莱公式与简单定 节 积分计算
一、 问题的提出 二、 积分上限函数及其导数 牛顿—莱布尼茨公式 三、牛顿 莱布尼茨公式 四、凑微法简单积分计算 五、小结
一、问题的提出
设某物体作直线运动, 设某物体作直线运动,已知速度 v = v(t) 是 的一个连续函数, 时间间隔 [t1 ,t2 ] 上 t 的一个连续函数, 且 v(t) ≥ 0 ,求物体在这段时间内所经过的路程 . 变速直线运动中路程为 ∫t v ( t )dt
1
t2
另一方面这段路程可表示为 s(t2 ) − s(t1 )
∴ ∫ v ( t )dt = s(t2 ) − s(t1 ).
t1 t2
s′(t ) = v (t ).
二、积分上限函数及其导数
上连续, 设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续, x ∈ [a , b]
称 f ( x ) = ∫a 性质： 性质：
x
f ( t )dt
为积分上限函数. 积分上限函数
上可积， 定理6.2.1 定理6.2.1 如果 f ( x ) 在[a , b]上可积，则积分上 x 上连续. 限的函数 f ( x ) = ∫a f ( t )dt 在 [a , b] 上连续. ) 有界. 证明 因为 f ( x ) 在[a ,xb]上可积，则 f ( x在[a , b]有界 上可积， x +∆
∆ f = f ( x + ∆x ) − f ( x ) =
f ( x + ∆x ) = ∫a
f ( t )dt
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