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教学课题:2正项级数 教案.doc
- 教学课题：§2正项级数
教学目的：通过教学使学生掌握正项级数的收敛性判别法。
教学要求：能够证明正项级数的各个判别法，熟练地应用判别法判断正项级数的敛散性
教学过程：
一 正向级数性判别法
若级数各项的符号都相同，则称它为同号级数。对于同号级数，只须研究各项都是正数组成的级数——称为正项级数。
定理12．5 正项级数收敛的冲要条件是它的部分和数列有界。
证明 由于正项级数的部分和数列是单调递增的，由单调有界定理，定理得证。
定理`12．6 （比较原则） 设 是两个正项级数，若存在自然数N，对一切
n＞N，都有 （1） 则
（1） 若 收敛，则 收敛；
（2） 若 发散，则 发散。
证明 不妨设对一切自然数不等式（1）都成立。设 和 分别是级数 和
的部分和，由条件得 。由定理12．5结论得证。
例1 考察 的收敛性。
推论 设 （1） （2）是两个正项级数，若 ， （3）。 则
1） 当0＜ ＜ 时，级数（1）与（2）同收敛或同时发散；
2） 且级数（2）收敛时，级数（1）也收敛；
3） 当 且级数（2）发散时，级数（1）也发散。
证明 由（3）知 ＞0 ， ＞N 时，有 ＜
即 ＜ ＜ （4） 由此及比较原则即知级数（1）与（2）同时收敛或同时发散。
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