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复变函数与积分变换
历史
复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在 他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两 个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他 的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因 此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗 贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在 柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究， 所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。
单复变函数的理论基础是在19世纪由柯西、魏 尔斯特拉斯和黎曼所奠定的。柯西的积分理论，魏 尔斯特拉斯的无穷级数理论和黎曼的共形（保角） 映射理论构成优美的单复变函数论。 复变函数论在数学领域的许多分支都有深刻的 应用，已经深入到微分方程、积分方程、概率论和 数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数论 在实际应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计 算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的 稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个 区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 俄国数学家茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复 变函数论解决了飞机机翼的结构问题。
问题的提出
1，已知 求 iπ 2，欧拉公式（数学中的美学高峰）： + 1 = 0 e 3，fermat-torr
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复变函数
高向阳 xygao@nwpu.edu
复变函数课程简介
• 课程要求
– 16学时， 8次课，闭卷考试 – 平时成绩30%，考试成绩70% – 理解教材，认真完成作业
• 课程内容
– 高等数学 实数 (实变)函数 (实变)函数的极限，积分，微分 – 复变函数 复数 复变函数 复变函数的极限，积分，微分 – 发展历史和应用领域
第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数
第一章 复数及复变函数
复数及其代数运算 复数的几何表示 复数的乘幂与方根 区 域 复变函数 复变函数的极限和连续性
第一节 复数及其代数运算
一、复数的概念 二、复数的代数运算
一、复数的概念
1. 虚数单位 虚数单位:
实例 : 方程 x 2 = −1在实数集中无解 .
引入一个新数 i，称虚数单位 ， 对虚数单位的规定: 对虚数单位的规定:
(1) i 2 = −1;
( 2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行 四则运算 .
2.复数 复数: 复数
对于任意两实数 x , y , 我们称 z = x + yi 或 z = x + iy 为复数 .
其中 x , y 分别称为 z 的实部和虚部 ,
记作 x = re( z ),
y = im( z ).
纯虚数
当 x = 0, y ≠ 0 时, z = iy
当 y = 0 时, z = x + 0i , 我们把它看作实数 x .
两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分 两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分 当且仅当 别相等. 别相
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