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e m ( i , j ) amn amn en ( i , j ) em ( i ( k )) amn amn e n ( i ( k )) em ( ij ( k )) amn amn e n ( ij ( k ))
把矩阵a的第 i 行与第 j 行对调，即 ri  rj . 把矩阵a的第 i 列与第 j 列对调，即 ci  c j . 以非零常数 k 乘矩阵a的第 i 行，即 ri  k . 以非零常数 k 乘矩阵a的第 i 列，即 ci  k .

把矩阵a第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 ri  krj .
把矩阵a第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 c j  kci .

口诀：左行右列. 性质1 设a是一个 m×n 矩阵， 对 a 施行一次初等行变换，相当于在 a 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； 对 a 施行一次初等列变换，相当于在 a 的右边乘以相应的 n

阶初等矩阵.

初等变换 初等变换的逆变换

初等矩阵 初等矩阵的逆矩阵 ?

初等矩阵的逆矩阵是：

e(i , j )1  e(i , j );
  1  e (i (k ))  e  i    ;   k 
1

e(ij(k ))1  e(ij(k )).

性质2

方阵a可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵p1, p2, …,

pl，使 a = p1 p2 …, pl ． 这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵. 其实，可逆矩阵的 行最简形矩阵也是单位阵．
r

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