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[高考数学]放缩法例题解析

放缩法例题解析
（2008 浙江） （22） （本题 14 分） 已 知 数 列

{a n }

， a n ≥ 0 ， a1 = 0 ， a n +1 + a n +1 − 1 = a n ( n ∈ N ) ． 记
2 2

•

S n = a1 + a 2 + ⋯ + a n
Tn = 1 1 1 + +⋯+ ． 1 + a1 (1 + a1 )(1 + a 2 ) (1 + a1 )(1 + a 2 ) ⋯ (1 + a n )
•

．

求证：当 n ∈ N 时， （Ⅰ） a n < a n +1 ;（Ⅱ） S n > n − 2 ； （Ⅲ） Tn < 3 。 （Ⅰ）证明：用数学归纳法证明． ①当 n = 1 时，因为 a2 是方程 x + x − 1 = 0 的正根，所以 a1 < a2 ．
2

②假设当 n = k (k ∈ N* ) 时， ak < ak +1 ， 因为 ak +1 − ak = ( ak + 2 + ak + 2 − 1) − ( ak +1 + ak +1 − 1)
2 2 2 2

= (ak + 2 − ak +1 )(ak + 2 + ak +1 + 1) ，
所以 ak +1 < ak + 2 ． 即当 n = k + 1 时， an < an +1 也成立． 根据①和②，可知 an < an +1 对任何 n ∈ N 都成立．
*

（Ⅱ）证明：由 ak +1 + ak +1 − 1 = ak ， k = 1， ⋯， − 1 （ n ≥ 2 ） 2， n ，
2 2

得 an + ( a2 + a3 + ⋯ + an ) − ( n − 1) = a1 ．
2 2

因为 a1 = 0 ，所以 S n = n − 1 − an ．
2

由 an < an +1 及 an +1 = 1 + an − 2an +1 < 1 得 an < 1 ，
2 2

所以 S n > n − 2 ． （Ⅲ）证明：由 ak +1 + ak +1 = 1 + ak ≥ 2ak ，得
2 2

a 1 ≤ k +1 (k = 2， ⋯， − 1 ，n ≥ 3) 3，
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函数解析式求法例析［数学教学与研侒］
李启林　　约2581字
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