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[理学]00ch3 微分方程3

微分方程建模
数信学院计算机系 王志巍
1

微分方程的几个简单实例

在许多实际问题中，当直接导出变量之间的 函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数 或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程 模型的方法来研究该问题，
本节将通过一些最简单的实例来说明微分方 程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中， 微分方程是十分常用的数学工具之一。

2

例1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微
分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ，   g 根据牛顿第二定律可得：     0 （3.2） 从而得出两阶微分方程： （3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt
这是理想单摆应 满足的运动方程

（3.1）的 近似方程

  l m l   m g sin   ( 0 )  0 ,  ( 0 )   0 

 故有 l 4 2 （3.1）是一个两阶非线性方程，不 由此即可得出 易求解。当θ很小时，sinθ≈θ，此时， g t  2 可考察（3.1）的近似线性方程：
l

  g g   s in   0 其中    （3.1） l l  t   当 t( 0 )  时,θ(t)=0 0 0 , (0 )   4 g t 

 l

m p q

mg
图3-1
3

例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了
我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两
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[数学]微分方程建模

数学建模第二课堂

微分方程建模
数学与生物数学教研室 周彦

主要内容
基本概念 历年题目 建立微分方程的几种方法 微分方程的求解 微分方程建模举例

01 基本概念
凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量关系 的方程称为微分方程． 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数称为微 分方程的阶． 未知函数是一元函数的微分方程为常微分方程， 为多元函数的微分方程为偏微分方程

01 基本概念
使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．

微分方程的解中的任意常数的个数与方程的阶数相 同，这种解称为方程的通解．不含有任意常数的解 称为特解．

用来确定通解中的任意常数，未知函数所满足的条 件称为初始条件或定解条件．

02 历年题目
2003年a题 sars的传播

2005年a题 长江水质的评价与预测

2007年a题 中国人口增长的预测

2011年a题 城市表层土壤重金属污染分析

03 建立微分方程的几种方法
（一）直接翻译法
直接翻译法是将实际问题中提出的条件，根据其数学、 物理、化学、生物等实际意义直接写成微分方程。
例1 设细菌的繁殖率与当时的细菌数成正比。 当 t = 0 时，细菌数为 m0 。求任意时刻 t 的细菌繁殖规律。

dm = λm （ λ 为常数，是增长速率常数） ） dt m = m0 e λt （特解） ）

03 建立微分方程的
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