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[数学]幂级数解方程偏微分方程.ppt
- [数学]幂级数解方程偏微分方程第十一章 幂级数解法—本征值问题
王建东
沙河校区计算机楼东206
jdwang@uestc.edu
11.1二阶常微分方程的幂级数解法
11.1.1幂级数解法理论概述
一、分离变量法求解偏微分方程：
1. 球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量
1 2 u 1 u 1 2u 0 r 2 sin 2 2 2 2 r sin r r r r sin
u(r , , ) r(r )y ( , )
y ( , ) ( )( )
d2 r dr r 2 2 2r l (l 1) r 0 dr dr
可直接求解 可直接求解
0
d d sin sin [l (l 1)sin 2 ] 0 d d
对第3个方程作变量替换
x cos
d 2 d m2 (1 x 2 ) 2 2 x l (l 1) 0 2 dx dx 1 x
为为 l 阶连带勒让德方程，不可直接求解
若讨论问题具有旋转轴对称性，即 m=0
d 2 d 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) 0 dx dx
为 l 阶勒让德方程，不可直接求解 2. 柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量
1 u 1 2 u 2 u 2 2 z 2 0
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第五章 常微分方程的级数解和特殊函数
§5.1 常点邻域方程的级数解 勒让德多项式和厄米多项式
一.常点邻域方程级数解的理论基础
定理5.1 (解唯一性定理 对二阶线性齐次常微分方程： 定理 解唯一性定理) 对二阶线性齐次常微分方程： 解唯一性定理 线性齐次常微分方程
d2 d ω + p(z) ω + q(z)ω = 0 (*) 2 dz dz
内解析;(常点 常点) 若 1. p (z), q (z) 均在圆盘 | z − z0 | < r内解析 常点 2. 方程的解满足“初始”条件： z0 ) = c0 , ω ´(z0 ) = c1 方程的解满足“初始”条件： ω( 则方程有唯一的解 在圆盘内单值解析。 则方程有唯一的解 ω( z) , 且 ω(z) 在圆盘内单值解析。 唯一
常点邻域方程的级数解的求解思路 (略) 略 求解方程， 在 z0 点邻域 | z − z0 | < r求解方程， 第一步 设其解形式为 ω(z) =
ak (z − z0 )k ∑
k =0
∞
代入方程，可得系数之间的递推关系。 代入方程，可得系数之间的递推关系。 递推关系 且该递推关系应为比例关系 因方程齐次)。 因方程齐次 且该递推关系应为比例关系 (因方程齐次 。 比例 第二步 结合“初始”条件，确定待定系数， 结合“初始”条件，确定待定系数，给
出方程的解。 出方程的解。 tips: 常微分方程的阶数决定了所需初始条件的个数。 常微分方程的阶数决定了所需初始条件的个数。
二.勒让德方程的求
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《数学物理方程》课件教案PPT 3-1-2 常微分方程的幂级数解.pdf
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向豆丁求助：有没有级数解微分方程?
