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8.4简谐振动的能量 8.4简谐振动的能量
1.弹簧振子的机械能 1.弹簧振子的机械能

x = a cos(ωt + ϕ ) f = −kx v = − aω sin(ωt + ϕ ) 1 2 1 2 ep = kx = ka cos 2 (ωt + ϕ ) 2 2
1 2 1 ek = mv = mω 2 a2 sin 2 (ωt + ϕ ) 2 2 1 2 2 = ka sin (ωt + ϕ ) 2 1
弹簧振子的总的机械能

e = ek + ep =

2

ka

2

弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化, 弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化,其周 期为简谐振动周期的一半, 期为简谐振动周期的一半,弹簧振子的总能量不随时 间改变,即作简谐运动的系统机械能守恒 简谐运动的系统机械能守恒, 间改变,即作简谐运动的系统机械能守恒 动能和势 能互相转化. 能互相转化

讨论

1 2 2 e = ek + ep = ka ∝ a 2
振幅的动力学意义: 振幅的动力学意义:振幅不仅给出了简谐运动的运 振动系统总能量的大小, 动范围,而且还反映了振动系统总能量的大小 动范围,而且还反映了振动系统总能量的大小,或 者说反映了振动的强度 强度。 者说反映了振动的强度。

讨论 动能和势能对时间平均值
1 ep = t



t

0

1 e p dt = t



t

0

1 2 1 2 2 ka cos (ωt + ϕ )dt = ka 2 4

1 ek = t



t

0

1 ek dt = t



t

0

1 2 2 1 2 ka sin (ωt + ϕ )dt = ka 2 4

弹簧振子的势能和动能的平均值相等而且等于总机械 能的一半。这一结论同样适用于其他的简谐运动
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